<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 8 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627273-6

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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<P>
                                I
 Sumrio

Segunda Parte

Captulo 4 -- lgebra: 
  usando variveis 
 1- Expresses 
  algbricas :::::::::::::::: 127
 Usando n: ao sobre o uso 
  de varivel ::::::::::::::: 140 
 2- Usando variveis para 
  generalizar ::::::::::::::: 142
 3- Adio e subtrao de 
  monmios :::::::::::::::::: 150 
 4- Multiplicao, diviso e 
  potenciao de monmios ::: 161
 5- Adio e subtrao de 
  polinmios :::::::::::::::: 169 
 6- Brincando... com 
  lgebra ::::::::::::::::::: 181

Captulo 5 -- Equaes e 
  sistemas de equaes: 
  resolues algbricas 
 1- Equaes do primeiro 
  grau :::::::::::::::::::::: 191 
 2- Sistemas de equaes ::: 204 
 3- Mtodo da 
  substituio :::::::::::::: 216
 4- Mtodo da adio ::::::: 231

<61>
<tmat. medida c. 8>
<T+127>
Captulo 4 -- lgebra: usando 
  variveis

<62>
1- Expresses algbricas 

O que  lgebra? 

  A Matemtica  uma criao do pensamento humano. Uma de suas caractersticas  a linguagem, que  universal, porque pode ser 
 entendida em qualquer parte do mundo. Por exemplo, qualquer criana entende a sentena 2+3=5, seja na ndia, em Cuba ou na Austrlia. 
  A Matemtica tem vrias ramificaes, como a aritmtica, que estuda os nmeros e as operaes, e a geometria, que estuda o espao e as formas. 
  Agora vamos iniciar o estudo de uma parte da Matemtica que, em sua linguagem, faz uso de letras no lugar de nmeros: a lgebra. 
  Usar letras no lugar de nmeros parece esquisito e voc pode perguntar por que se faz isso. Bem, uma parte da resposta voc vai conhecer neste captulo. 

Letras e generalizaes 

  Voc sabe que a adio de quaisquer nmeros reais  comutativa. H muitos exemplos desse fato: 2+5=5+2; -^p+0,25=0,25+`(-^p`); 3+4=4+3.
  Entretanto, mesmo com um milho de exemplos, no teramos apresentado essa propriedade para todos os nmeros reais. Mas h uma maneira bem simples de apresent-la para todos os nmeros reais de uma s vez.  s escrever: 
  Se *a*, *b* so nmeros reais, ento a+b=b+a. 
  Usando letras, podemos escrever generalizaes, isto , fatos que valem para todos os nmeros de certo conjunto. Nesses casos, as letras so chamadas de variveis. Quando representam nmeros reais, so chamadas de variveis reais. 
<P>
Letras e frmulas 

  Uma frmula matemtica  uma igualdade com variveis. 

<63> 
Exemplo 1 

  No captulo 2, voc aprendeu que representando o capital pela letra C, a taxa no intervalo unitrio pela letra *i*, o tempo em que este capital ser emprestado pela letra *t*, os juros J produzidos pela aplicao podem ser calculados com o uso da frmula: J=C"i"t. 
  A frmula  uma espcie de receita para calcular os juros. Ela poderia ser escrita com palavras. Por exemplo: os juros produzidos por um capital emprestado a certa taxa mensal por certo nmero de meses so dados pelo produto do capital pela taxa mensal pelo nmero de meses. 
  Entretanto, usar a frmula  mais simples, no ? 

Exemplo 2 

  Na Matemtica e no dia a dia so teis frmulas para calcular reas e volumes. Uma frmula bem conhecida  a da rea de um trapzio como o da ilustrao. 

A=?`(b+B`)'h*2

<F->
        b
    cccccc   
          ,             
        h ,           
          ,    
----------u---u
       B
<F+>

  As variveis so A, que indica a rea, *b*, que indica o comprimento do menor lado paralelo, B, que indica o comprimento do maior lado paralelo e *h*, que indica o comprimento do segmento perpendicular que une os lados paralelos. 
  Essas variveis indicam nmeros reais positivos. 
  Se, em um terreno com forma de trapzio, tem-se b=12, B=15, h=20, dados em metros, a rea, em metros quadrados, ser: 
 A=?`(12+15`)"20*2=270. 
  Ou seja, a rea do terreno  270 m2. 

Vocabulrio 

<R+>
 As expresses que apresentam uma ou mais variveis e tambm as expresses que s tm nmeros so chamadas de expresses algbricas. 
  Nas expresses algbricas, costuma-se omitir o sinal de multiplicao. Por exemplo, 2x+3y indica 2'x+3'y. 
  Substituindo as variveis de uma expresso algbrica por nmeros e efetuando os clculos indicados, obtemos o valor numrico da expresso. 
  Por exemplo, o valor numrico da expresso ?`(b+B`)'h*2 para b=12, B=15 e h=20  270. 
<R->

<64>
Um pouco de histria... 

  O primeiro a escrever equaes e expresses algbricas apenas com letras e sinais matemticos foi o matemtico francs Franois Vite, que viveu no sculo XVI. Sua lgebra era muito parecida com a que estamos estudando. 
  Neste captulo voc vai aprender os clculos algbricos bsicos. Com eles, vai poder escrever e entender frmulas que so teis em vrias cincias.

Atividades 

<R+>
1. Escreva estas sentenas utilizando variveis. 
 a) Todo nmero real multiplicado por 1 resulta no prprio nmero real. 
 b) Todo nmero real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor. 
<P>
 c) Numa multiplicao de dois nmeros reais quaisquer, a ordem dos fatores no altera o produto. 
 d) Todo nmero real somado com seu oposto d zero.

2. Cada sorvete custa R$1,55. 
 a) Quanto custam seis sorvetes? 
 b) Responda com uma expresso algbrica: x sorvetes custam quantos reais? 
 c) Qual  o valor numrico dessa expresso para x=2?

3. Tenho R$35,00 e minha irm tem x (ela nunca me diz quanto tem!). 
 a) Se eu ganhar R$16,00, com quanto ficarei? 
 b) Responda com uma expresso algbrica: ganhando R$16,00, com quanto minha irm ficar? 
 c) Qual  o valor numrico dessa expresso quando x=59?
<P>
4. Imagine que as corridas de txi de certa cidade custem R$4,00 pela bandeirada, mais R$1,40 por quilmetro rodado. 
 a) Qual ser o preo de uma corrida de 5 quilmetros? 
 b) Responda com uma expresso algbrica: quantos reais sero pagos por uma corrida de x quilmetros? 
 c) Qual  o valor dessa expresso quando x=10?

5. A varivel *n* representa qualquer nmero inteiro positivo: 1, 2, 3, ... 
  Responda com expresses alg-
  bricas: 
 a) Quantos so os algarismos iguais a zero do resultado de 10n? 
 b) Quantos so os algarismos do resultado de 10n?

6. Qual  o valor numrico de x`(x+y`) quando x=-2 e y=-3,2?
<P>
7. Para comprar x sorvetes, todos de mesmo preo, dei y reais e recebi de troco R$13,00. 
 a) Com uma expresso algbrica, indique quanto custou cada sorvete. 
 b) Qual  o valor numrico dessa expresso quando x=4 e y=25?

8. Veja a sequncia 3, 6, 9, 12, ... Na posio 1 est o nmero 3; na posio 2, o nmero 6 e assim por diante. Para representar o nmero da posio *n*, com n,_n* (o smbolo _n* indica o conjunto dos nmeros naturais, sem o zero), o que devemos escrever? Ser n3? Ser n+3? Ser 3n? 

<65> 
Pensando em casa

9. Escreva estas sentenas utilizando variveis. 
 a) Todo nmero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse nmero. 
 b) Numa adio de dois nmeros reais quaisquer, a ordem das parcelas no altera a soma.

10. (Saresp) A tabela a seguir mostra o nmero de horas que Lcia assiste  televiso em relao ao nmero de dias: 

_`[{tabela adaptada. A primeira linha representa o nmero de horas (h) e a segunda, o nmero de dias (d)_`]

<F->
  !::::::::::::::::::::::::
  l 3   _ 6   _ 15  _ 18  _
  r::::::w::::::w::::::w::::::w
  l 1,0 _ 2,0 _ 5,0 _ 6,0 _
  h::::::j::::::j::::::j::::::j
<F+>

  Indica-se por *h*, o nmero de horas, e por *d*, o nmero de dias. A sentena algbrica que relaciona, de forma correta, as duas grandezas : 
 a) d=h-2  
 b) d=h'3 
<P>
 c) h3=d
 d) h-3=d 

11. Qual  o valor numrico da expresso x5x3 quando x=7?

12. A prefeitura de uma cidade cobra dos comerciantes um imposto que  calculado pela frmula: 
  I=100+0,02 L. 
  Nessa frmula, a varivel I representa o valor do imposto e L, o lucro do comerciante. Diga quanto paga de imposto um comerciante que teve um lucro de: 
 a) R$500,00; 
 b) R$3.000,00; 
 c) R$10.000,00.

13. Comprei *n* sorvetes. Cada um custou x reais. 
 a) Responda com uma expresso algbrica: quantos reais gastei? 
 b) Qual  o valor numrico dessa expresso quando n=3 e x=4,5?
<P>
14. (Saresp) Considere a sequncia: 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...; n, ... 
  O nmero que vem imediatamente depois de *n* pode ser representado por: 
 a) n+1  
 b) n+4 
 c) 24
 d) 4'n

15. Nas sequncias a seguir, indique o nmero que est na posio *n*, com n,_n*. (_n*  o conjunto dos nmeros naturais sem o zero). 
 a) 2, 4, 6, 8, ... 
 b) 1, 3, 5, 7, ... 
 c) 7, 9, 11, 13, ... 
 d) 2, 4, 8, 16, ...

16. Considere estas adies: 
  1+1 
  2+2+2 
  3+3+3+3 
  4+4+4+4+4 
  Observe: na 1 adio, as parcelas valem 1 e o nmero de parcelas  2; na 2 adio, as parcelas valem 2 e o nmero de parcelas  3, e assim por 
  diante. 
 a) A 3 adio d 12. Quanto d a 30 adio? 
 b) Qual  o resultado da ensima adio? Para responder, use a varivel *n*. 

Desafios e surpresas

1. Com palitos de fsforo, fiz uma fileira de *n* quadrados: 

<F->
  !::::::::::::::::
  l1_2_3_4_  _  _  _ n_
  h::j::j::j::j::j::j::j::j
<F+>

  Responda com expresses alg-
  bricas, usando *n*: 
 a) Quantos so os palitos na periferia (isto , na parte ex-
  terna) dessa figura? 
 b) E na parte interna? 
 c) No total, quantos so os palitos da figura? 
<R->

<66>
Ao sobre o uso de varivel  

Usando n 

  Esta atividade  sobre sequncias. Voc dever descobrir como expressar o termo geral, usando linguagem algbrica. 

<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por *n* colunas: 1 termo, 2 termo, 3 termo, 4 termo, ''' e ensimo termo e onze linhas de sequncias_`]

<F->
1 sequncia: 3 -- 6 -- 9 -- 12 -- ... -- ?
2 sequncia: 2 -- 5 -- 8 -- 11 -- ... -- ?
3 sequncia: 5 -- 8 -- 11 -- 14 -- ... -- ?
4 sequncia: 8 -- 9 -- 10 -- 11 -- ... -- ?
5 sequncia: 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- ... -- ?
6 sequncia: -5 -- -10 -- -15 -- -20 -- ... -- ?
<P>
7 sequncia: #?b -- 5 -- #,?b -- 10 -- ... -- ?
8 sequncia: 0,4 -- 0,8 -- 1,2 -- 1,6 -- ... -- ?
9 sequncia: #,e -- #,aj -- #,ae -- #,bj -- ... -- ?
10 sequncia: 1 -- 4 -- 9 -- 16 -- ... -- ?
11 sequncia: #?b -- 4 -- #,,b -- 7 -- ... -- ?
<F+>
<R->
 
  Vamos descobrir o termo geral da 1 sequncia: 3, 6, 9, 
 12, ... 
  O que podemos observar nessa sequncia? Que os seus termos so mltiplos de 3: o 1 termo  o triplo de 1, o 2  o triplo de 2, o 3  o triplo de 3 e assim por diante. 
  Ento, o termo de nmero *n* (n-simo) ser o triplo de *n*, ou seja: 3n. 
  J o termo geral da 2 sequncia, 2, 5, 8, 11, ..., pode ser encontrado a partir da 1: 3n-1. 
  Dessa forma, pode-se ir desco-
 brindo o termo geral das outras sequncias. 

               ::::::::::::::::::::::::

<67>
2- Usando variveis para 
  generalizar 

  Neste item vamos usar variveis para resolver o seguinte problema: Quantas diagonais tem um polgono convexo? 
  Primeiro voc deve saber o que  um polgono convexo:  o que no tem reentrncias. As figuras ex-
 plicam melhor: 

<R+>
_`[{figuras: dois polgonos: um convexo e outro no convexo_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Agora, voltemos a nosso problema. Para responder  pergunta, 
<P>
podemos contar quantas diagonais tem um polgono convexo: 

<R+>
_`[{figuras: quatro polgonos_`]

  tringulo: 0 diagonal
  quadrado: 2 diagonais
  pentgono: 5 diagonais
  hexgono: 9 diagonais
<R->

  Mas nem sempre  fcil contar as diagonais de um polgono convexo. Veja o polgono de 10 lados _`[no adaptado_`]:
  Observe que, nesse caso, de cada vrtice saem 7 diagonais. Como so 10 vrtices, poderamos pensar que o total de diagonais  10"7. S que, desse jeito, contamos cada diagonal duas vezes. Veja, por exemplo, a diagonal ^c?{a{d*. Ela foi contada quando pensamos nas diagonais que saem de A e quando pensamos nas que saem de D. 
<68>
<P>
  Portanto, o nmero de diagonais do polgono convexo de 10 lados : ?10'7*2=35. 
  Muito bem, respondemos  pergunta para o polgono convexo de 10 lados. E os polgonos convexos de 11 lados, 20 lados etc.? 
  Para esses casos, vamos calcular o nmero de diagonais usando uma varivel que representa o nmero de lados do polgono. 

Frmula do nmero de diagonais 

  Imagine um polgono convexo de *n* lados. Nesse caso, a varivel *n* representa qualquer nmero natural maior que 2. 
  Esse polgono tem tambm *n* vrtices. Quantas diagonais saem de cada vrtice? 
  Veja: do vrtice V saem diagonais para todos os outros vrtices, exceto para o prprio V e para os dois vrtices vizinhos a ele. 
  Concluso: de cada vrtice saem n-3 diagonais. 
  Para obter o total de diagonais, multiplicamos n-3 por *n* (porque so *n* vrtices) e dividimos por 2 (para no contar duas vezes cada diagonal). 
  Podemos, ento, generalizar: d=?n`(n-3`)*2 em que *d* indica o nmero de diagonais de um polgono convexo de *n* lados. 
  Na igualdade anterior, obtemos o valor de *d* calculando o valor numrico da expresso em *n*. Esse tipo de igualdade  chamado de frmula matemtica. Voc j conhece outras frmulas matemticas. Uma bem simples  A=l2, que d a rea de um quadrado cujo lado mede l. 
 
Exemplo 

  Se o polgono convexo tiver 15 lados, calculamos o valor numrico da expresso para n=15: 
 d=?n`(n-3`)*2
 d=?15'`(15-3`)*2=?15'12*2=
 =15'6=90 
  Logo, um polgono convexo de 15 lados tem 90 diagonais. 

<69>
Atividades 

<R+>
17. Calcule o nmero de diagonais de um polgono de: 
 a) 5 lados; 
 b) 10 lados.

18.
 a) Obtenha o valor numrico da expresso ?n`(n-3`)*2 para n=3. 
 b) Em relao aos polgonos e suas diagonais, o que significa o resultado obtido?

19. Um segmento que liga dois vrtices de um polgono convexo pode ser um de seus lados ou uma de suas diagonais. Em um polgono convexo de 11 lados, quantos so os segmentos que ligam dois de seus vrtices?
 20. Considere todos os segmentos que ligam dois vrtices de um polgono convexo de *n* lados. Quantos so esses segmentos? Responda, usando uma expresso algbrica.

21. Quatro times de basquete, A, B, C e D, vo disputar um torneio. Jogam todos contra todos uma s vez. Veja como esses jogos podem ser representados geometricamente. 

<F->
        A                   
        *l?           
      *a l ^?                                          
    *a   l   ^?                           
D :::::r:::::oB
    ^?   l   *a    
      ^? l *a                   
        ^la                            
        C
<F+>

a) Quantos jogos haver no torneio? 
 b) Quantos jogos haveria se o torneio fosse disputado por 12 times?
 
Pensando em casa 

22. (Saresp) Observe as diagonais dos polgonos regulares de 4, 5 e 6 lados.

_`[{figuras: um quadrado, um pentgono e um hexgono_`]

  Quantas diagonais tm um polgono regular de 7 lados? 
 a) 13 
 b) 14 
 c) 15 
 d) 16

23. Calcule o nmero de diagonais de um polgono convexo de: 
 a) 15 lados; 
 b) 20 lados. 

<70>
24.
 a) Seis pontos dividem uma circunferncia em seis partes iguais. Eles so os vrtices de um polgono convexo. Quantas diagonais desse polgono passam pelo centro da circunferncia? 
 b) Sete pontos dividem uma circunferncia em sete partes iguais. Eles so os vrtices de um polgono convexo. Quantas diagonais desse polgono passam pelo centro da circunferncia?

25. Considere *n* pontos que dividem uma circunferncia em *n* partes iguais. Esses pontos so vrtices de um polgono convexo. Nesse polgono, o nmero de diagonais que passam pelo centro da circunferncia ser indicado por D. 
 a) No caso em que *n*  par, escreva a frmula de D. 
 b) No caso em que *n*  mpar, o que se pode afirmar a respeito de D? 
<P>
Desafios e surpresas

2. Para qualquer *n* inteiro, a expresso ?n`(n-3`)*2 sempre d um nmero inteiro. Explique por qu. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<71> 
3- Adio e subtrao de 
  monmios 

  As operaes -- como a adio, a subtrao, a multiplicao e a diviso -- tambm podem ser efetuadas com expresses algbricas. 
  Para iniciar o estudo dessas operaes, vamos considerar ex-
 presses algbricas bem simples, chamadas de monmios. 

Monmios 

  Monmios so expresses alg-
 bricas que apresentam apenas um nmero, apenas uma varivel ou multiplicaes entre nmeros e 
 variveis. 
  Por exemplo: 5x2y3, 2x, x3 e 12. 
  Em um monmio distinguimos duas partes: um nmero, que  o seu coeficiente, e uma varivel ou uma multiplicao de variveis, que  a sua parte literal. Veja estes exemplos: 
 7x2y3
  O coeficiente  7. 
  A parte literal  x2y3.
 -2xy 
  O coeficiente  -2.
  A parte literal  xy. 

Monmios semelhantes 

  Monmios que tm a mesma parte literal so chamados de monmios semelhantes. 

  Por exemplo: 
 so monmios semelhantes:
  7x3y2 
  -5x3y2
 so monmios semelhantes:
  -6x e x

Adio e subtrao 

<R+>
 Como exemplo, vamos considerar uma adio de monmios semelhantes. 7x3y2+5x3y2.
<72>
  Para som-los, pode-se pensar assim: temos 7 monmios x3y2 mais 5 desses monmios; logo, temos 7+5, ou seja, 12 monmios x3y2. Portanto: 7x3y2+5x3y2=
  =12x3y2.
  Pensando na propriedade distributiva, obteramos o mesmo resultado: 7x3y2+5x3y2=
  =(7+5)x3y2. 
  Logo, 7x3y2+5x3y2=
  =12x3y2. 
<R+>
  A subtrao de monmios semelhantes, tambm  feita dessa maneira. Por exemplo: 
  9a2y-7a2y=2a2y. 
  Quando os monmios no so semelhantes, deixamos a soma deles, ou a diferena, apenas indicada. Por exemplo, a adio 2x+y  apenas indicada. 
<R->

Exemplos
 
 3xy+5xy=8xy  
  a5b+a5b=2a5b 
  1,7ay3-3ay3=-1,3ay3
  #;ey2z-y2z=-#:ey2z

Uso da adio de monmios 

  A figura _`[no adaptada_`]  formada de quadrados e retngulos. As medidas esto dadas em cm. 
  Vamos encontrar a expresso algbrica que representa a rea A, em cm2. 

 A=`(2y`)x+xy+x2+x2 
 A=2xy+xy+x2+x2 
 A=3xy+2x2

 2xy+xy: monmios semelhantes 
 x2+x2: monmios semelhantes

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
<73>
  Se tivermos, por exemplo, x=3 e y=0,5, essa rea ser:

 A=3xy+2x2 
 A=3'3'0,5+2'32 
 A=4,5+18 
 A=22,5 
 A rea ser de 22,5 cm2.

Atividades 

<R+>
26. Escreva a parte literal de cada monmio. 
 a) 5x5y5
 b) -2x3
 c) x4y2  
 d) 4,2y3

27. Agora, indique os coeficientes dos monmios. 
 a) 7ax6 
 b) -ax4
 c) -#,bx2y
 d) 3,1ay2 
 
28. Quando falamos em adio algbrica de monmios, podemos estar nos referindo tanto a uma adio de monmios como a uma subtrao. Assim sendo, efetue as adies algbricas. 
 a) 5x2+12x2  
 b) 3xy-10xy  
 c) -7x3y+8x3y 
 d) -5x-11x
 e) 8xy2+8xy2
 f) y2-2y2

29. Considere o retngulo {a{b{c{d de base *b* e altura *c*. 

<F->
  D                 C  
   pccccccccccccccccc
   l               ^ _
   l            ^    _            
 c l         ^       _ c           
   l      ^          _
   l   ^             _
   l^                _
   ------------------#   
  A        b        B  
<F+>
<P>
a) Qual  o monmio que representa a rea do retngulo {a{b{c{d? 
 b) Qual  o monmio que representa a rea do tringulo {a{b{c? 
  Dica: a diagonal do retngulo divide-o em dois tringulos equivalentes, ou seja, de mesma rea.

30. Em relao ao tringulo {a{b{c da atividade anterior: 
 a) Qual  o coeficiente do monmio que indica sua rea? 
 b) Qual  a parte literal do monmio que indica sua rea? 
 c) Qual  o valor de *c* se b=5 e a rea  20 unidades?

31. (Saresp) Paulo est resolvendo um problema e chegou  expresso U=?2x2+3x-5*3. Quando x=10, o valor numrico da expresso U ser igual a: 
 a) 22  
 b) 75 
<P>
 c) 205
 d) 225

32. Indique com um monmio: 
 a) a rea do retngulo I; 
 b) a rea do retngulo II; 
 c) a rea do quadrado III. 

<F->
           _cccccc^^
           _      _ 
    !::::::w III_ x
    l      _      _
    l      _::::::w~~
    l      _      _
3y l  I  _ II _ 2y
    l      _      _
    l      _      _
    h::::::j::::::j~~
    ,  x   ^  x   ^
    ,      ^      ^
<F+>

33. No exerccio anterior, a rea total da figura pode ser obtida com uma adio de monmios. Efetue essa adio. 

<74>
<P>
Pensando em casa

34. (Saresp) A sentena algbrica d=12h, relaciona o nmero *d* de dias, e o nmero *h* de horas trabalhadas por um sapateiro, por dia, para fazer certa quantidade de sandlias. Supe-se que o trabalhador produza a mesma quantidade de sandlias por hora trabalhada. 
  Qual das tabelas a seguir expressa, de forma correta, a sentena algbrica? 

_`[{as tabelas das opes a seguir so formadas por trs colunas e duas linhas. A primeira linha  o nmero de horas (h) e a segunda, nmero de dias (d)_`]

<F->
a) !::::::::::::::::
    l h _ 10 _ 8 _ 6 _
    r:::w:::::w::::w::::w
    l d _ 2  _ 4 _ 6 _
    h:::j:::::j::::j::::j
<P>

b) !::::::::::::::::
    l h _ 12 _ 9 _ 6 _
    r:::w:::::w::::w::::w
    l d _ 6  _ 3 _ 2 _
    h:::j:::::j::::j::::j

c) !::::::::::::::::
    l h _ 12 _ 6 _ 4 _
    r:::w:::::w::::w::::w
    l d _ 6  _ 3 _ 2 _
    h:::j:::::j::::j::::j

d) !::::::::::::::::
    l h _ 2  _ 4 _ 6 _
    r:::w:::::w::::w::::w
    l d _ 6  _ 3 _ 2 _
    h:::j:::::j::::j::::j
<F+>

35. Escreva o monmio que: 
 a) somado com 3x5y d -2x5y; 
 b) subtrado de -6y d -10y; 
 c) somado com 12x3y8 resulta zero; 
 d) somado a 4xy d 4xy.

36. Calcule o valor numrico das expresses algbricas seguintes, para x=#,b e y=-3. Mas, antes, efetue as adies dos monmios semelhantes. 
 a) 7x-9y-9x+8y 
 b) xy2+xy3-5xy6 
 c) 4x2-y29+x3-x2 

37. Nesta figura _`[no adaptada_`], a parte colorida  formada por quatro retngulos. As medidas esto em centmetros. 
 a) A rea da figura colorida pode ser obtida com uma adio de monmios. Efetue essa adio. 
 b) Calcule a rea da figura colorida, nestes dois casos: quando x=8 e quando x=8,5. 
 c) Para que valor de x a fi-
  gura colorida tem uma rea de 82 cm2? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
_`[{um rapaz diz: "Como voc pode perceber, usar letras no lugar de nmeros  muito vantajoso, pois  assim que podemos fazer generalizaes." Uma jovem diz: "Pois ! O uso das frmulas tambm ajuda muito, no  mesmo?"_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<75>
4- Multiplicao, diviso e 
  potenciao de monmios 

Multiplicao 

  Acompanhe a multiplicao do monmio x4 pelo monmio x3: 
 x4"x3=x"x"x"x"x"x"x=x"x"x"x"x"
 "x"x=x7. 
  Aqui, temos um exemplo da seguinte propriedade: na multiplicao de potncias de mesma base, mantemos a base e somamos os ex-
 poentes. x4"x3=x?4+3*=x7.
<P>
  Essa propriedade  a base para qualquer multiplicao de monmios. 

Exemplos

<R+>
<F->
 6x2y35x4y4=
  =30x6y7
 2x2y3-9x2y3=
  =-18x4y6 
 `(13xy`)`(75yz`)=715xyz2
<F+>
<R-> 

Diviso 

  Acompanhe a diviso do monmio x5 pelo monmio x3: 
 x5x3=?x"x"x"x"x*?x"x"x*=
 =?x"x*1
 x5x3=x2. 
  Aqui, temos um exemplo de outra propriedade: na diviso de potncias de mesma base, mantemos a base e subtramos os expoentes. 
 x5x3=x?5-3*=x2

<76>
<P>
Exemplos

<R+>
<F->
 12x5y3z4
  3x3y2z=4x2yz3
 5x3y2z6
  10x3yz3=yz32
 5x2y-10x2y=-12
<F+>
<R->

Potenciao 

  Vamos calcular a potncia (2x3y4)3. 
  Essa potncia  uma multiplicao de trs fatores iguais a 2x3y4: 
 (2x3y4)3=(2x3y4)
 (2x3y4)(2x3y4)=
 =(2"2"2)"`(x3"x3"x3)"
 "`(y4"y4"y4). 
  Portanto, `(2x3y4`)3=
 =8x9y12. 
  Podemos efetu-la mais rapidamente, usando as propriedades da potenciao: 
 (2x3y4)3=23"`(x3)3"
 "`(y4)3=8x9y12.

Exemplos

 `(-2x3y`)4=16x12y4
  `(35a2y3`)3=27
  125a6y9
 
Atividades 

<R+>
38. Efetue, aplicando as pro-
  priedades das potncias: 
 a) x4'x5
 b) (2y2)'y3
 c) (2x2)'`(3x`) 
 d) `(-5y`)'`(-8y2) 
 e) x2'`(xy`) 
 f) `(x2y`)'`(x3y2) 
 g) (2x2y2)(3x3y3) 
 h) (3x2z2)`(-2xy`)(6z2) 
 i) `(-2x2)`(-4y2)
  `(-5x3y4) 
 j) `(25x2y2`)`(37x3y3)
 k) (1,5a2x3)`(-1,8bx2)
  `(-5a3bx4) 

<77>
39. Calcule as potncias: 
 a) (4a4b3)2  
 b) `(-2a6b`)5
 c) `(23a2y5`)4
 d) `(-x5y`)10
 e) `(xy2z3)8 
 f) `(43ay3`)4 

40. Efetue as divises: 
 a) `(x3y3)`(x2y2) 
 b) (63a4x5)`(-9a3x2) 
 c) -12`(xy`)320x3 
 d) `(-8a5y6)`(-40ay`) 
 e) (37x8y9)`(-x8y9) 
 f) (25a3x2y4)(5x2) 
 g) (12a6)`(-72a2) 
 h) (27a10b9)
  `(-3a9b9) 
 i) (11,25a2b4)
  (4,5ab2) 
 j) `(a3b2)`(-4ab`) 
 k) `(-25a5b5`)
  `(-415a2b`) 
 l) `(-a10b6)`(87b6`) 

41. Em uma pessoa adulta, o ndice de massa corporal  dado pela diviso da massa (no dia a dia, dizemos peso), em quilogramas, pelo quadrado da altura, em metros. Esse ndice, indicado por I, deve estar entre 19 e 25. Se Io25, a pessoa deve emagrecer; se I19, convm engordar. Para calcular I, os mdicos usam uma frmula como esta: I=...... 
 a) Indicando o ndice por I, a massa por *m* e a altura por *a*, escreva a frmula. 
 b) Se uma jovem tem I=20 e 1,6 m de altura, quantos quilogramas ela tem?

Pensando em casa

42. Calcule: 
 a) y4'y5 
 b) `(2ax`)'`(x3)
 c) `(3x2y`)'`(-10x3y`)
 d) `(-x3y3)'`(8x2y`)
 e) `(-12x6y5)`(-4x3y5)
 f) `(x8y8)(2x3y5) 
 g) (21x2y6)(3x2y6) 
 h) `(5x2y`)`(-15x2y`) 
 i) `(514a2b3)'(7a5) 
 j) `(-35xy4)`(-1215x`)
<P>
43. O produto 5'5'5 pode ser abreviado para `(5`)3; isso voc j sabe. Mas por que usamos a expresso ao cubo? 
  Se considerarmos um cubo cuja aresta mede 5 cm, o volume dele ser: 
  V=`(5'5'5`) cm3 ou `(5`)3 cm3. 
  De um modo geral, d-se o nome de cubo de um nmero a um produto de trs fatores iguais a esse nmero. 
  Calcule o cubo de 2a2, ou seja, o volume de um cubo cuja aresta mede (2a2) cm.

44. Escreva o monmio que: 
 a) multiplicado por -2xz3 d 28x3y3z3; 
 b) dividido por -2xz3 d 28x3y3z3. 

<78>
45. Faa os clculos a seguir. Ateno: eles combinam vrias operaes e, como voc j sabe, 
<P>
  clculos dentro dos parnteses so feitos primeiro. 
 a) `(11x3y4z2+
  +5x3y4z2`)4xy4z 
 b) x2'x4+x'x5+x3'x3-
  -2'x5'x 
 c) (18x5y5)`(-6xy5)-x4
 d) `(3x2y-7x2y+3x2y`)x2

46. Considere um quadrado cujo lado mede `(3a3`) cm. 
  Qual  o monmio que representa a rea, em cm2, desse quadrado?

_`[{para as atividades 47 e 48, pea orientao ao professor_`]

47. A figura _`[no adaptada_`] mostra um piso coberto por ladrilhos retangulares. Cada ladrilho tem x cm de largura e 2x cm de comprimento. 
  Escreva a expresso algbrica que representa: 
 a) a rea de cada ladrilho; 
<P>
 b) a rea ocupada pelos ladrilhos amarelos; 
 c) a rea ocupada pelo piso todo.

48. Calcule a rea do piso da questo anterior quando x=15. 

Desafios e surpresas

3. Procura-se um monmio assim: somando-o com 5x3y2 e multiplicando o resultado por -4x2y5, deve-se obter a expresso -12x5y7. Qual  o monmio procurado? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<79>
5- Adio e subtrao de 
  polinmios 

  Na lgebra, para iniciar o estudo das operaes, consideramos expresses algbricas simples, chamadas de monmios. Agora, faremos o mesmo estudo com os polinmios. 

Polinmio 

  Polinmio  qualquer monmio ou qualquer adio algbrica (isto , adio ou subtrao) de monmios. 

  Veja alguns exemplos de 
 polinmios: 
  15x3+7x2-8x-4
  3x3y2-4x3y2+y4 
  2x+3y-y 
  -6x4y 

Lembrete

  *Mono* significa *um s* e 
 *poli* significa *muitos*. Apesar disso, lembre que um polinmio pode ser simplesmente um monmio. 

  Os monmios que formam um polinmio tambm so chamados de termos do polinmio. Por exemplo: -2x4y+3x2y2+8xy. 
<P>
Forma reduzida de um polinmio 

  Considere o polinmio 2x5+5x3y2-7x5+x3y2. 
  Ele possui termos semelhantes, isto , de mesma parte literal. Sabemos que esses termos podem ser somados ou subtrados: 
 2x5+5x3y2-7x5+x3y2=
 =2x5-7x5+5x3y2+
 +x3y2=-5x3+6x3y2. 
<80>
  Dizemos, ento, que -5x5+
 +6x3y2  a forma reduzida 
 do polinmio 2x5+5x3y2-
 -7x5+x3y2. 

  Um polinmio est na sua forma reduzida quando no tem monmios semelhantes. 

Adio 

  Adicionar polinmios  o mesmo que adicionar todos os monmios desses polinmios. 
<P>
  A ltima sentena parece esquisita, mas voc pode entend-la no exemplo. 

Exemplo 

  Vamos efetuar a seguinte adio de polinmios: (2x2+3xy-y2)+
 +`(3x2-xy-2y2). 
  Em razo das propriedades das operaes em _r, podemos eliminar os parnteses e somar os termos semelhantes: (2x2+3xy-y2)+
 +`(3x2-xy-2y2`)=2x2+3x2+
 +3xy-xy-y2-2y2=5x2+2xy-
 -3y2. 
  Assim, a soma de 2x2+3xy-
 -y2 com 3x2-xy-2y2  o polinmio 5x2+2xy-3y2. Essa adio tambm pode ser feita da seguinte maneira: escrevemos cada polinmio a ser somado em uma linha, colocando os termos semelhantes um embaixo do outro. A, somamos os termos semelhantes: 
<P>
<F->
 2x2 +3xy   -y2
+3x2   -xy -2y2
:::::::::::::::::::::
 5x2 +2xy -3y2
<F+>

  A soma  5x2+2xy-3y2. 

Oposto de um polinmio 

  Considere o polinmio 2x2-3x+7. O polinmio que, somado a ele, resulta zero  chamado de oposto de 2x2-3x+7.  fcil perceber que esse oposto tem, em cada monmio, os sinais opostos do polinmio inicial. 
  Assim, o oposto de 2x2-3x+7  o polinmio -2x2+3x-7. Confira: 
 `(2x2-3x+7)+`(-2x2+3x-
 -7)=0. 

<81> 
<P>
Subtrao 

  Para efetuar a subtrao de dois polinmios, somamos o minuendo com o oposto do subtraendo. 

Exemplo

(2x2+3xy-7y2)-`(x2+4xy-
 -y2)=(2x2+3xy-7y2)+
 +`(-x2-4xy+y2)=2x2+3xy-
 -7y2-x2-4xy+y2=x2-xy-
 -6y2. 

  Repare que voc pode obter o mesmo resultado eliminando os parnteses de imediato e trocando os sinais dos monmios do subtraendo. Veja:
 (2x2+3xy-7y2)-`(x2+4xy-
 -y2)=2x2+3xy-7y2-x2-
 -4xy+y2=x2-xy-6y2.

Atividades 

<R+>
49. Escreva a forma reduzida dos polinmios: 
 a) 2x+3y-5x-7y+8-x-1 
 b) 9xy-x2+y2-3xy+5x2+
  +6y2 

50. Efetue: 
 a) `(x2-3x`)+(2x2+4x+1) 
 b) (5x3-11x2-2x+3)+
  +`(8x3+3x2+4x-5) 

51. Escreva o oposto de: 
 a) 2xy2-x3+5y3-8 
 b) -5y3+10y2-2y-6

52. (Saresp) Considerando A=a3-2a2+3 e B=a3-2a2-a+5, temos que A-B  igual a: 
 a) a-2  
 b) -a+8 
 c) -4a2-a+8
 d) 2a3-4a2-a+8

53. Observe como podemos eliminar os parnteses e colchetes para, depois, efetuar os 
  clculos: 
  (2x2-3x+1)-`(5x2+3x-
  -5`)-`(x2+1)=2x2-3x+
  +1-5x2+3x-5-x2-1=
  =2x2-3x+1-5x2-3x+5+
  +x2+1=2x2-5x2+x2-3x-3x+1+5+1=-2x2-6x+7. 
  Seguindo o exemplo, efetue: 
 a) (2y2-3y+5)-`(5y2+
  +3y-7`)-`(y2+3) 
 b) (2xy2-3xy+4)-`(-2xy2+
  +4xy-1)-`(xy2-3xy+6)

54. A seguir, temos alguns retngulos. As medidas dos lados esto indicadas nas figuras. Obtenha os permetros desses retngulos. 
<F->
a)
       !::::::::
  x+5 l        _ 
       l        _
       h::::::::j
         2x-3
b)
       !::::
       l    _
  x+2 l    _ 
       l    _
       h::::j
         x
c)
       !:::::::::::
       l           _
  x+2 l           _ 
       l           _
       h:::::::::::j 
         4x-3y
<F+>

<82>
55. No retngulo a seguir, as medidas indicadas esto em centmetros. 

<F->
         !::::::::
  2x-1 l        _ 
         l        _
         h::::::::j
           4x-3
<F+>

a) Apresente a expresso alg-
  brica do permetro do retngulo. 
 b) Calcule o permetro quando x=2,5 cm. 
 c) Calcule x, para se ter um permetro de 52 cm. 
<P>
56.
 a) Somando o polinmio 2x3-5x2-4x+1 com seu oposto, qual ser o resultado? 
 b) Subtraindo do polinmio 2x3-5x2-4x+1 o seu oposto, que resultado ser obtido? 

Pensando em casa

57. Efetue: 
 a) (4x3y-5y2)+`(9x3y-
  -6y2) 
 b) (2x3-7x+9)+`(4x3-
  -6x+8) 
 c) `(3a2b-4ab2+ab`)-
  -`(4a2b+3ab2-2ab`) 
 d) (3x-4y-2)-(2x-y+8)-
  -`(-x+y+1) 

58. Considere o polinmio 5x2y-2xy2-y3. 
 a) Encontre o polinmio que, somado a esse, resulta 2x2y+3xy2-4y3. 
 b) Encontre o polinmio que, subtrado desse, resulta 3x2y-4xy2-7.
<P>
59. Efetue: 
 a) (2xy-3x-10)-(5xy+3x-7)-`(xy+3) 
 b) 4x2+38-`(x2+x2`)-
  -`(-3x2+x8+14`)
 
60. Tenho x anos de idade e minha prima  y anos mais velha. Responda, usando um polinmio: 
 a) Quantos anos tem minha prima? 
 b) Quantos anos ela ter daqui a 5 anos? 
 c) Quantos anos eu terei quando ela tiver 40 anos? 
 d) Quantos anos ela ter quando eu tiver 40 anos?

61. Na figura _`[no adaptada_`], vemos uma chapa de ao usada em automveis. 
  As medidas esto em centmetros. 
 a) D o permetro da pea nestes trs casos: quando x=2 e y=3; quando x=3 e y=2; quando x=2,5 e y=2,5. 
<P>
 b) Considerando x=3,5, calcule y para que o permetro da pea seja 56 cm. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas

4. Mrio tem x anos. Ele  o pai de Mrcia, uma jovem de y anos. Responda usando um polinmio: 
 a) Quantos anos Mrio tem a mais que Mrcia? 
 b) Quantos anos Mrio ter quando Mrcia tiver 40 anos? 
 c) Quantos anos Mrio ter quando Mrcia tiver a idade que hoje ele tem? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<83>
<P>
6- Brincando... com lgebra 

Adivinhando o resultado 

<R+>
 Pense em um nmero inteiro de 10 a 19, mas no me diga qual . Some os dois algarismos. 
  Agora, subtraia essa soma do nmero que voc pensou. 
  Eu vou adivinhar o resultado final que voc encontrou.  9! Certo? 
<R->

  Se voc fizer essa pequena mgica com um colega ou uma pessoa de sua famlia, vai causar surpresa. Isso porque, mesmo sem conhecer o nmero pensado, voc acha o resultado! Mas o que parece uma mgica , na verdade, uma aplicao da lgebra. 
  Primeiro veja o que acontece no caso particular em que o nmero pensado  15: 
<R+>
  nmero pensado: 15, que pode ser escrito assim: 10+5 
  soma dos algarismos: 1+5 
  nmero pensado menos soma dos algarismos: (10+5)-(1+5)=
  =10+5-1-5=9. 
  Agora, analisando o caso geral, veja que o nmero pensado pode ser: 10+0,10+1, ... at 10+9. Por isso vamos indic-lo por 10+x.
  nmero pensado: 10+x 
  soma dos algarismos: 1+x 
  nmero pensado menos soma dos algarismos: `(10+x`)-`(1+x`)=
  =10+x-1-x=9. 
  Percebeu qual  o truque? Quando calculamos nmero pensado menos soma dos algarismos, o x desaparece, pois x-x=0. A, ficamos sempre com 10-1=9. 
  Usando a lgebra, vimos que 
  o resultado final no depende 
  do nmero escolhido: ele sempre d 9! 

<84>
<P>
Adivinhando o nmero pensado 

 Pense em um nmero natural de 1 a 9. 
  Multiplique esse nmero 
  por 5. 
  Multiplique o resultado 
  por 2. 
  Agora, some outro nmero natural qualquer, de 1 a 9. 
  Voc diz o resultado e eu adivinho o primeiro nmero! 
<R->

  Como isso  possvel?  fcil. Veja: 
<R+>
  voc pensou no nmero x; 
  efetuou x'5; 
  depois, efetuou x'5'2, obtendo 10x; 
  finalmente, voc acrescentou y, obtendo 10x+y. 
  Como x e y so nmeros de 1 a 9, o resultado tem x dezenas (ou seja, 10x) e y unidades. Assim, se o seu resultado for 67, voc pensou primeiro no nmero 6; se o seu resultado for 25, voc pensou primeiro no nmero 2, e assim por diante. 

Atividades

62. Pense em um nmero inteiro de 20 at 29. Some os algarismos do nmero. Agora, sub-
  traia essa soma do nmero 
  pensado. 
 a) Qual vai ser o resultado? 
 b) Imaginando que o nmero pensado seja 20+x, efetue os clculos algbricos para mostrar que o resultado  sempre o mesmo.

63. No exerccio anterior, se o nmero pensado for um nmero inteiro de 30 a 39, qual ser o resultado final?

64. Pensei em um nmero natural x, de 1 a 9. Multipliquei por 20 e, depois, por 5. Acrescentei outro nmero natural y de 1 a 99. 
<P>
 a) Expresse o resultado final, usando a lgebra. 
 b) Se o resultado final for 307, qual foi o primeiro nmero pensado? 
 c) E se o resultado final for 771?

65. Pensa-se em dois nmeros: x e y. Calcula-se a soma e a diferena dos dois. Depois, efetua-se a soma menos a diferena. 
  Diga qual ser o resultado, se os nmeros pensados x e y forem, respectivamente: 
 a) 7 e 2  
 b) 15 e 3 
 c) 3,5 e 1
 d) 4,1 e 3 

66. No exerccio anterior, mostre, usando a lgebra, que o resultado  sempre o dobro do segundo nmero pensado, isto , 2y. 

<85>
<P>
Pensando em casa

67. Pensei em um nmero de 1 a 9. Multipliquei esse nmero por 2 e, depois, por 5. A seguir, acrescentei qualquer outro nmero de 1 a 9. 
 a) Se eu pensei no nmero 3, h nove resultados finais possveis. Quais so? 
 b) Imagine que o nmero pensado seja x, e o nmero acrescentado seja y. Escreva o resultado 
  final. 

68. Proponha a um amigo que siga estas instrues: 
  Escreva dois nmeros diferentes, mas no mostre. 
  Calcule a soma e a diferena dos nmeros escritos. 
  Some os dois resultados obtidos. 
  Finalmente, divida essa soma pelo primeiro dos dois nmeros escritos no incio. 
  Agora, voc pode adivinhar o resultado dessa diviso. Explique, utilizando a lgebra, qual ser o resultado da diviso.

69. No exerccio anterior, vamos mudar s a ltima instruo: em vez de dividir a soma pelo primeiro dos nmeros escritos, deve-se dividir a soma por 2. 
 a) Dessa maneira, todas as pessoas encontraro o mesmo resultado? 
 b) Qual ser o resultado encontrado? 

Desafios e surpresas

_`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

5. Imagine os nmeros naturais, a partir de 1, dispostos como nesta tabela infinita _`[adaptada_`]:
<P>
<F->
1  2   3     4    5   6  7
8  9  *10*  *11*  12  13 14
15 16 *17*  *18*  19  20 21
22 23  24    25   26  ''' '''
<F+>

  Escolha um retngulo de quatro nmeros assim: dois consecutivos em uma linha e os dois de baixo. Por exemplo, os nmeros destacados na tabela, ou qualquer outro retngulo desse tipo. 
  Qualquer que sejam os nmeros, se voc som-los, dividir a soma por 4 e subtrair 4, o resultado ser o menor dos quatro nmeros. Experimente com 10, 11, 17 e 18. Depois, usando x, explique por que isso acontece em todos os casos. 
 6. Imagine os nmeros naturais, a partir de 1, em uma tabela infinita como esta _`[adaptada_`]:

<F->
1  2  3  4  5  6  7  8    
9  10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24    
25 26 27 ''' ''' '''
<F+>
<P>
  Se voc escolher quatro nmeros exatamente como no caso anterior, voc obter uma soma S. Quanto voc dever subtrair de S e por quanto deve dividir o resultado para obter o menor dos quatro nmeros? (Responda usando lgebra.) 
 
<86>
7. (Saresp) O preo de uma corrida de txi  composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilmetro rodado. Uma firma contratou um txi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O nmero x de quilmetros que o motorista do txi pode percorrer nesse passeio  representado por: 
 a) x<50
 b) x<60 
 c) x<114
 d) x<120 

8. Observe a sequncia de 
  operaes. 

_`[{diagrama adaptado_`]

x+3='''"7='''-7='''2='''

a) Copie e complete a sequncia, escrevendo as expresses corretas na lacuna. 
 b) Pensei em um nmero e fiz todas as operaes indicadas no diagrama acima. O resultado final foi 79,32. Em que nmero pensei? 
<R->

               oooooooooooo

<87>
<P>
Captulo 5 -- Equaes e 
  sistemas de equaes: resolues 
  algbricas 

<88>
1- Equaes do primeiro grau 

  Como voc j sabe, uma das vantagens de se usar letras no lugar de nmeros  a de poder fazer generalizaes e estabelecer frmulas. Vamos lembrar agora de outra aplicao do uso das letras. 
 Alis, a lgebra nasceu dessa aplicao. Trata-se das equaes, uma poderosa ferramenta usada para resolver problemas. 

Um pouco de histria... 

  Povos antigos, como os egpcios e babilnios de 3.000 anos atrs, j tinham maneiras de resolver equaes. Mesmo assim, pode-se dizer que o verdadeiro iniciador da lgebra foi Al-Khowarizmi, matemtico rabe que viveu em Bagd por volta do sculo IX. As histrias de *As mil e uma noites*, de que voc provavelmente j ouviu falar, passam-se nessa poca em que Al-Khowarizmi criou a lgebra. Ele escreveu um livro sobre equaes em cujo ttulo havia a palavra *al-jabr*, que se transformou em lgebra. No seu tempo, a cincia rabe era bem mais avanada que a dos europeus. 
  A vantagem de Al-Khowarizmi sobre os matemticos anteriores a ele era a de que comeou a usar incgnitas e variveis, embora no as representasse com x, y ou outras letras. Ele representava com palavras mesmo. Como a lgebra se caracteriza pelo uso de variveis, ele realmente merece o ttulo de iniciador dessa cincia. 

<89>
Exemplo 1 

  Vamos ver como se pode equacionar um problema, usando letras como incgnitas, ou seja, aquilo que se quer descobrir no problema. 
  Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa esse tijolo? 
  Se cada tijolo tiver x quilogramas, meio tijolo ter x2 quilogramas. 
  Como a balana _`[no adaptada_`] est em equilbrio, podemos escrever esta sentena: x=x2+1. 
  Essa sentena  uma equao, porque tem: 
<R+>
  uma incgnita, a letra x, que representa o valor que deve ser encontrado; 
  um sinal de igual entre as ex-
  presses do 1 e do 2 membro. 
<R->

  Note que a palavra incgnita quer dizer *desconhecida*, e a palavra equao comea com *equa*, que indica *igual*, em latim. 
  Resolver a equao  encontrar o valor da incgnita que torna a sentena verdadeira. Nesse caso, o valor  2, porque: 2=22+1. 
  Como podemos chegar ao valor 2? Primeiro multiplicamos os 
<P>
dois membros por 2, eliminando o denominador. Veja: 
 2"x=`(x2+1)"2 
 2x=2x2+2. 
<90>
  Agora, subtramos x dos dois membros. Veja: 
 2x-x=x+2-x 
 x=2. 
  Realmente, x=2. O tijolo do problema pesa 2 quilogramas. 
  Voc deve ter percebido que as equaes podem ser teis para resolver problemas, no ? 

Como resolver uma equao de 
  1 grau 

  A maioria das equaes que vamos resolver no 8 ano  de 1 grau. Isso quer dizer que a incgnita est elevada ao expoente 1, que no se costuma escrever. 
  Para resolver equaes, podemos usar estes recursos: 
<R+>
  multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo nmero diferente de zero; 
<P>
  somar ou subtrair aos dois membros um mesmo nmero. 
<R->
  Essas operaes, feitas dos dois lados do sinal de igual, no alteram a igualdade. 
  s vezes, os recursos usados so explicados de outra maneira. Por exemplo, neste caso: 2x=x+2. 
  Em vez de dizer que subtramos x dos dois membros, algumas pessoas dizem que x foi passado para o 1 membro mudando o sinal. Essa frase no  uma explicao lgica, mas descreve o que acontece: 
 2x-x=2 
 x=2. 
  Veja ainda este outro caso: x3=7.
  Em vez de dizer que os dois membros foram multiplicados por 3, podemos dizer que usamos a operao inversa: se x dividido por 3 d 7, isso quer dizer que x  igual a 7 vezes 3: 
 x=7'3 
 x=21. 

Exemplo 2 

  Vamos resolver a equao na incgnita t: ?t-3*4=2t3+1. 
  Colocamos todos os termos sobre um denominador comum, que pode ser mmc(3, 4)=12. 
 ?3`(t-3)*12=?4"2t+4*12. 
<91>
  Multiplicamos ambos os membros da equao por 12, eliminando os denominadores. Depois efetuamos os clculos, usando a propriedade distributiva para multiplicar 3 por t-3. 12'?3`(t-3`)*12=?4'
 '2t+4*12'12 
 ?3`(t-3`)*1=?4'2t+4*1
 3t-9=8t+4. 
  Agora, reunimos os termos com incgnita t no 1 membro e os termos sem incgnita no 2 membro (subtraindo 8t e somando 9 em cada membro). 
 3t-8t=4+9 
 -5t=13 
 t=13-5=-135. 
  Portanto, o valor de t que torna a sentena verdadeira  t=-135. 
<P>
Atividades 

<R+>
1. Numa balana, 4 bolas de x gramas cada equilibram-se com 2 mas de 150 gramas cada. Quanto vale x? 

2. Pensei em um nmero, multi-
  pliquei-o por 2 e somei 4, obtendo 12. 
 a) Chamando o nmero desconhecido de x, escreva a equao que corresponde ao que eu fiz. 
 b) Calcule o valor de x. 

3. (Saresp) O valor de x que  soluo da equao ?x+2*4+3x=5`(x-2`) : 
 a) -#,b 
 b) #:b 
 c) 6
 d) 12 

4. Determine a soluo das 
  equaes: 
 a) 5x-6=2x+3 
 b) ?2x+3*5=3 
 c) 7`(x+2)=2x-6 
 d) ?3x+2*5=?x-1*4

5. Os lados de um retngulo medem x e `(x-2`) centmetros. O permetro desse retngulo  (2x+6) centmetros. Calcule o valor de x.
 6. Apenas um valor de x torna a igualdade verdadeira. Descubra qual . ?3x-5*2-?x+5*3=4 
<92>
 7. Perguntaram ao vov Mrio quantos peixes tinha rendido a pescaria. Ele respondeu na forma de um enigma: "Os dois teros da quantidade de peixes que pesquei equivalem aos peixes pescados menos 2, que me fugiram do anzol."
  Quantos peixes vov Mrio pescou?

8. Resolva as equaes: 
 a) ?x+1*2-?x-3*3=12
 b) ?x+1*2+?x+2*3=x
<P>
9. Veja como J gasta seu salrio: 
  tera parte -- aluguel
  quarta parte -- alimentao
  quinta parte -- transporte
  J usa os R$130,00 que sobram para ir ao cinema e passear nos fins de semana. Qual  o salrio de J? 

Pensando em casa
 
10. Gabriel comprou uma televiso com desconto de 15% e pagou por ela R$510,00. 
 a) Represente o preo que Gabriel pagou, sendo x o preo sem desconto.
 b) Escreva uma equao para calcular x.
 c) Qual  o valor da televiso antes do desconto?

11. Ao comprar um skate, Dino teve um desconto de R$6,00. Qual era o preo do skate se a taxa de desconto foi de 5%? 

12. Considere as expresses 4x-5 e ?7x-1*2. 
 a) Mostre que elas no so iguais se x=1. 
 b) Descubra o nmero que torna essas expresses iguais, resolvendo uma equao. 
 c) Mostre, substituindo x pela soluo da equao, que as expresses ficam iguais.

<93>
13. (PUC{camp-SP) -- Numa cidade, os taxmetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT 
  (Unidade Taximtrica) mais 0,2 UT por quilmetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxmetro marcava 8,2 UT, qual foi o total de quilmetros rodados? 
 14. (UFP-RS) -- O aluguel de uma moto numa agncia A  de R$280,00, acrescido de R$3,00 por quilmetro rodado. Numa agncia B, o aluguel da mesma moto  de R$400,00, acrescido de R$1,00 por quilmetro rodado. Qual deve ser o valor de quilmetros rodados para que o gasto seja o mesmo em qualquer das agncias?
 15. Marcelo estava fazendo aniversrio. A turma queria colocar velinhas no bolo, tantas quantos fossem os anos de vida de Marcelo. Ao perguntarem quantos anos estava completando, ele respondeu fazendo mistrio: 
  Diminuindo um ano da tera parte dos anos que j vivi obtemos exatamente 25% da minha idade. 
  Quantas velinhas os amigos deveriam colocar no bolo? 

16. Acompanhe o dilogo de J e Renata: 
  -- R, quantos alunos tem a sua classe?
  -- Minha turma  superesportiva! Metade dos alunos s joga futebol, a oitava parte pratica s natao, a quarta parte pra-
<P>
  tica s vlei e apenas quatro alunos no praticam esporte. 
 a) Escreva as fraes a que 
  Renata se referiu. 
 b) Adicionando essas fraes, quanto falta para chegar a um? 
 c) Quantos alunos h na classe de Renata? 
 d) Quantos jogam futebol? 
 e) Quantos praticam natao? 
 f) Quantos jogam vlei? 
 g) Faa um grfico de barras ilustrando os dados referentes aos esportes que os alunos da classe de Renata praticam.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

17. Divida o nmero 36 em duas partes, de modo que uma seja #?g da outra. 

18. (Saresp) 

_`[{dois meninos conversam sen-
  tados no sof: "Voc quer os R$20,00 emprestados?" Pergunta um deles. O outro responde: "No vai adiantar. Mesmo juntando isso ao que tenho e depois dobrando o resultado, ainda vo faltar R$40,00 para pagar minha dvida de R$200,00."_`]
 
  Com qual equao podemos descobrir o valor da dvida? 
 a) 2x+20+40=200 
 b) x+40+40=200 
 c) `(x+40)'2+20=200 
 d) `(x+20)'2+40=200 

<94>
Desafios e surpresas 

_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

1. Descubra quais so os trs nmeros decimais deste circuito _`[no adaptado_`]:
 2. Examine cada circuito _`[no adaptado_`] e depois responda: 
   possvel preencher os quatro crculos, respeitando as quatro indicaes das setas? Qual  o nmero do crculo de cor diferente? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<95>
2- Sistemas de equaes 

Equao de 1 grau com duas 
  variveis 

  Considere a equao 2x+y=10. 
  Veja: se x=1 e y=8, temos uma soluo da equao porque 2'1+8=10. 
  Dizemos ento que o par ordenado `(1, 8)  soluo da equao. 
  Existem outros pares ordenados que so soluo da equao. 
 Confira: 
<R+>
  (3, 4)  soluo porque 2'3+4=10; 
  `(#,b, 9)  soluo porque 2'#,b+9=10; 
  `(-1, 12)  soluo porque 2'`(-1)+12=10. 
<R->
<P>
  As equaes de 1 grau com duas variveis costumam ter infinitas solues. 
  Podemos fazer uma tabela com algumas dessas solues. As reticncias indicam que a tabela pode apresentar outras solues. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l x: 1 3 #,b -1  0  5 ... _
r::::::::::::::::::::::::::::::w
l y: 8 4 9   12 10 0 ... _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Por que chamamos as letras x e y de variveis? 
  O costume era cham-las de incgnitas (valores desconhecidos). Notando, porm, que x pode ter qualquer valor real, usa-se tambm o termo varivel.  claro que y tambm  uma varivel porque, para cada x, sempre podemos encontrar o y correspondente. 
<P>
Um problema de mistura 

  Em certo pas, o litro da gasolina custa US$2 e o lcool, US$5. Para diminuir a poluio, o governo decidiu adicionar lcool  gasolina, produzindo um combustvel que custa US$3,05 o litro. Para preparar 100 litros desse combustvel, quantos litros de lcool so necessrios? 
<96>
  Vamos traduzir esse problema para a linguagem algbrica. 
  Queremos saber quantos litros de lcool usar na mistura. Esse valor ser x e a quantidade de litros de gasolina ser y. Para 100 litros da mistura, temos x+y=100. 
  Agora, pensando no custo do combustvel em US$, vamos obter outra equao em x e y: 
<R+>
  os x litros de lcool custam 5x; 
  os y litros de gasolina custam 2y; 
  os 100 litros de mistura custam 100'3,05=305; 
  portanto, 5x+2y=305.
  Note que para resolver esse problema escrevemos duas equaes com duas variveis: 
  x+y=100; 
  5x+2y=305. 
  Essas duas equaes formam o sistema de equaes que indicamos assim: 
  x+y=100 
  5x+2y=305. 
  Vamos resolver o sistema, isto , encontrar os valores de x e y que satisfazem as duas condies exigidas. 
  Isso pode ser feito de muitas maneiras. Vamos usar as tabelas e atribuir alguns valores para x, encontrando o respectivo 
  valor de y: 
<P>
<F->
  !::::::::::::::::
  l    x+y=100    _
  r:::::::::::::::w
  l x      _  y    _
  r::::::::w:::::::w
  l 50    _ 50   _
  r::::::::w:::::::w
  l 30    _ 70   _
  r::::::::w:::::::w
  l 35    _ 65   _
  r::::::::w:::::::w
  l 40    _ 60   _
  h::::::::j:::::::j

  !::::::::::::::::
  l  5x+2y=305  _
  r:::::::::::::::w
  l x      _  y    _
  r::::::::w:::::::w
  l 61    _ 0    _
  r::::::::w:::::::w
  l 25    _ 90   _
  r::::::::w:::::::w
  l 55    _ 15   _
  r::::::::w:::::::w
  l 35    _ 65   _
  h::::::::j:::::::j
<F+>

  O par ordenado (35, 65)  soluo do sistema, pois  soluo em ambas as equaes: 
  x+y=100 
  35+65=100
  5x+2y=305 
  5"35+2"65=175+130=305. 
  Portanto, para preparar 100 litros do combustvel sero necessrios 35 litros de lcool. 
<R->

Soluo de um sistema de equaes 

  A soluo de um sistema de equaes em x e y  um par de valores: um para x, um para y, que  soluo comum s equaes que formam o sistema. Esse par de valores chama-se par ordenado, porque nele, a ordem deve ser respeitada: primeiro vem o valor de x e depois o de y. 
<P>
Exemplo 1 

  Vamos verificar se o par ordenado `(#;c, 4)  soluo do sistema de equaes: 6x+5y=24 e 15x+y=14. 
<97>
  Substituindo o par `(#;c, 4) em cada equao, temos: 
  6x+5y=24 
  6'#;c+5'4=24 
  4+20=24. 
  A sentena  verdadeira. 
  15x+y=14 
  15'#;c+4=14 
  10+4=14. 
  A sentena  verdadeira. 
  Concluso: o par `(#;c, 4)  
  soluo desse sistema. 

Exemplo 2 

  Verificar se o par `(#,b, -3)  soluo do sistema de equaes: 2x-3y=10 e 4x+y=5. 
  Substituindo o par `(#,b, -3) em cada equao, temos: 
<P>
  2x-3y=10 
  2'#,b-3'`(-3)=10 
  1+9=10. 
  A sentena  verdadeira.
  4x+y=5
  4'#,b-3=5
  2-3=5. 
  A sentena  falsa. 
  Concluso: o par `(#,b, -3) no 
   soluo desse sistema.

Atividades 

<R+>
19. Escreva todas as solues da equao 2x+y=8, nas quais x e y so nmeros naturais.
 20. Nesta tabela, apresentamos valores de x. Complete-a de modo que os pares `(x, y`) sejam solues da equao 3x-y=4. 

<F->
  !::::::::::::::::::::
  l x: 0  1  2  3  _
  r::::::::::::::::::::w
  l y: ... ... ... ... _
  h::::::::::::::::::::j
<F+>

 21. Verifique se o par ordenado `(#,f, #,d`)  uma das solues da equao 5`(1-3x`)=4+2`(y-1).
 22. Escreva uma equao com duas variveis que tenha como soluo o par `(-1, 5).

23. (Saresp) Resolvendo o sistema a seguir: 10x-5y=0 e 3x+5y=13. 
  Os valores de x e y so, respectivamente: 
 a) 0 e #,:e 
 b) 0 e 5 
 c) 1 e -2 
 d) 1 e 2 
  Sugesto: teste cada um dos pares ordenados no sistema. 

<98>
24. (Saresp) Entre bananas e melancias, comprei 5 quilogramas de frutas e gastei R$7,00. Quantos quilogramas comprei de cada fruta? 

_`[{desenho de duas frutas com seus preos: melancia R$1,50 o quilo e bananas R$1,00 o quilo_`]
<P>
a) 3 de bananas e 2 de melancias.  
 b) 3 de melancias e 2 de bananas.
 c) 1 de melancia e 4 de bananas.
 d) 1 de bananas e 4 de melancias.

Pensando em casa

25. Luisinha tem x moedas de R$0,10 e y moedas de R$0,25, totalizando R$2,00. 
  Essa situao pode ser representada na linguagem da lgebra pela equao 0,1x+0,25y=2. 
  Quais solues da equao correspondem  situao de 
  Luisinha? (Ou seja, quantas moedas de cada tipo ela tem?)
<P>
 26. Escreva uma equao com duas variveis para a qual vale a 
  tabela:

<F->
  !::::::::::::::::::::
  l x: -1 0 1 2 5 _
  r::::::::::::::::::::w
  l y:  6 5 4 3 0 _
  h::::::::::::::::::::j
<F+>

27. O par ordenado `(x, #,e`)  soluo da equao 2x-5y=3. 
  Qual o valor de x nesse par?
 28. Verifique se o par ordenado `(#:b, #?b`)  soluo do sistema de equaes: 4`(x+1)=2y+5 e x+y=4.

29. Temos galinhas e porcos, num total de 10 animais e 28 patas. 
 a) Complete a tabela at que o nmero de patas seja 28.
<P>

<F->
galinhas _ porcos_ patas           
:::::::::w:::::::w::::::::::::::::
   1    _  9   _ 2'1+4'9=38 
   2    _  8   _ 2'2+4'8=36
  '''    _  '''  _  '''
  '''    _  '''  _  '''
  '''    _  '''  _  '''
<F+>

b) Quantas so as galinhas? E os porcos? 

<99>
Desafios e surpresas 

3. Trs mas e uma pera equilibram-se com treze ameixas. Cinco ameixas e uma ma, juntas, equilibram-se com uma pera. Quantas ameixas so necessrias para equilibrar a pera? 
  Estamos supondo que todas as mas tenham pesos iguais, assim como todas as ameixas. 
 4. Fizemos duas pesagens usando pesos de x quilogramas, y quilogramas e 14 quilogramas. 
<P>
_`[{duas figuras_`]
 1. balana em equilbrio. Num prato, 3 pesos de y quilogramas e no outro, um peso de x quilogramas.
 2. balana em equilbrio. Num prato, 4 pesos de y quilogramas e 1 de x quilogramas; no outro, um peso de 14 kg.

  Observe os equilbrios nas balanas e responda: 
 a) Quantos quilogramas tem o peso x? 
 b) Quantos quilogramas tem y? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<100>
3- Mtodo da substituio 

  Vamos resolver o seguinte que-
 bra-cabea: 
  Com uma xcara e um copo, foram feitas estas duas pesagens: 
<P>
<R+>
_`[{duas figuras_`]
 1. balana em equilbrio. Num prato, uma xcara; no outro, um copo e um peso de 50 g.
 2. balana em equilbrio. Num prato, uma xcara e um copo; no outro, um peso de 100 g.
<R->

  Quantos gramas tem a xcara? E o copo? 
  Na 1 pesagem, vemos que: 

<R+>
_`[{xcara igual a peso de 50 g mais o copo_`]
<R->

  Ento, na 2 pesagem, podemos trocar uma xcara por um peso de 50 g e mais um copo que o equilbrio se mantm. 
  A balana ficar assim: 

<R+>
_`[{balana em equilbrio. Num prato, dois copos e um peso de 50 g; no outro, um peso de  
  100 g_`]
<R->
<P>
  Agora,  fcil descobrir que cada copo tem 25 gramas. 
  Voltando para a 1 pesagem, conclumos que a xcara tem 75 gramas. 
  Portanto, a xcara tem 75 gramas e o copo, 25. 

<101>
Resoluo de um sistema por 
  mtodo algbrico 
 
  Vamos colocar este quebra-cabea que acabamos de resolver na linguagem matemtica. 
  A xcara tem x gramas e o copo, y gramas. Assim, cada pesagem corresponde a uma equao: x=y+50 e x+y=100. 
  Essas duas equaes formam o seguinte sistema de equaes: x=y+50 e x+y=100. 
  Vamos resolver o sistema, isto , encontrar os valores de x e y que satisfazem as duas condies exigidas. 
  A 1 equao informa-nos que x tem o mesmo valor que y+50. Ento, na 2 equao, podemos substituir x por y+50: x=y+50 e x+y=100. Ento, y+50+y=100. 
  Essa ltima equao s tem a incgnita y. 
  Resolvendo-a, voc obter y=25. 
  Com o valor de y, fica fcil obter o de x: x=y+50. Ento, x=25+50. Portanto, x=75. 
  Assim, x=75 e y=25: a xcara tem 75 gramas e o copo, 25. 
  O mtodo algbrico que utilizamos para resolver esse sistema chama-se mtodo da substituio. 
<102>
  Vamos agora organizar os nossos conhecimentos sobre o mtodo da substituio, com dois exemplos. 

Exemplo 1 

  Comecemos resolvendo o seguinte sistema: 
 1) x+2y=8 
 2) 2x+3y=13 
<P>
1 passo: Isolar uma incgnita.

  A equao mais simples  a equao 1. Nela vamos isolar a incgnita x, ou seja, deix-la 
 sozinha num membro: 
 x+2y=8
 Subtramos 2y dos dois membros.
 x+2y-2y=8-2y
 x=8-2y 
  Agora, podemos trocar x por 8-2y. 

2 passo: Substituir a incgnita 
  isolada. 

  Na equao 2, substitumos a incgnita x por 8-2y. 
 2x+3y=13 fica 2'`(8-2y`)+
 +3y=13. 

3 passo: Resolver a equao 
  numa s incgnita. 

  Resolvemos a equao obtida: 
 2'`(8-2y`)+3y=13 
 16-4y+3y=13 
<P>
 -y=13-16 
 -y=-3 
 y=3. 

4 passo: Encontrar o valor da 
  incgnita isolada no incio. 

  Ao isolarmos x, vimos que 
 x=8-2y. Substituindo o valor 
 de y em x=8-2y, obtemos o valor de x: 
 x=8-2'3 
 x=8-6 
 x=2. 

<103>
Anote 

  No final de tudo, convm verificar a soluo, isto , substituir os valores obtidos de x e y nas equaes originais para verificar se do sentenas verdadeiras. Observe: x+2y=8 leva a 2+2'3=8, ou seja, 2+6=8. Certo! 2x+3y=13 leva a 2'2+3'3=13, ou seja, 4+9=13. Certo! 

5 passo: Dar a resposta. 

  A soluo de um sistema de equaes em x e y  um par de valores: um para x, um para y. 
  A soluo em que x=2 e y=3 costuma ser apresentada com este par ordenado: `(2, 3`). 
  Ele se chama par ordenado porque, nele, a ordem deve ser respeitada: primeiro vem o valor de x, e depois o de y. 
  Portanto, a nica soluo do sistema  `(2, 3`). 

Exemplo 2 

  Vamos resolver o sistema: 
 1) 3x+2y=4 
 2) 5x+4y=7

1 passo: Isolar uma incgnita. 

  Em geral, comeamos a resoluo pela incgnita que nos parece mais fcil de ser isolada. 
<P>
  Vamos isolar y na equao 1.
 3x+2y=4 
 2y=4-3x 
 y=?4-3x*2.

2 passo: Substituir a incgnita 
  isolada. 

  Substitumos esse valor de y na equao 2. Teremos: 5x+4'?4-
 -3x*2=7. 

3 passo: Resolver a equao 
  numa s incgnita. 

  Vamos resolver essa equao: 
 5x+4'?`(4-3x`)*2=7
 5x+2'`(4-3x`)=7 
 5x+8-6x=7 
 -x=7-8 
 -x=-1 
 x=1. 

<104>
<P>
4 passo: Encontrar o valor da 
  incgnita isolada no incio.
 
  Sabemos que y=?4-3x*2. 
 Como x=1, temos: 
 y=?4-3'1*2 
 y=#,b.

5 passo: Dar a resposta. 

  A nica soluo do sistema  `(1, #,b`).

<R+>
_`[{uma mulher diz: "A soluo de um sistema de equaes sempre pode ser verificada... Faa isso com o par 1, #,b no sistema dado." Um homem diz: "No par ordenado 1, #,b o valor de x  1 e o de y  #,b."_`]
<P> 
Atividades 

30. Este  o mapa de um bairro: 

_`[{mapa adaptado_`]
 
<F->
  !~~~~~~!::::::::::::::::::
  ,      l      _      _      _
  ,      l      _      _B    _
  , casa r::::::w::::::=::::::w
  ,      l      _            _
  ,      l      _            _
  !::::::r::::::w::::::::::::w
  l      l      _            _
  l      l      _            _
  r::::::::::::w
y l            _      _      _
  l            _      _      _
  h::::::g::::::j::::::j::::::j
     x  A 
<F+>

  Os quarteires so retangulares, todos de comprimento x e largura y. 
 a) O comprimento x tem 30 m a mais que a largura y. Represente esse fato com uma equao. 
 b) O caminho de A at B tem 260 m. Represente esse fato com uma equao. 
 c) Resolva o sistema obtido e d o comprimento e a largura de cada quarteiro. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<105>
31. Com as informaes do cartaz, encontre o preo de um hambrguer.

  Dac Monald's

  2 hambrgueres+1 refrigerante= 
  =R$9,00
  1 hambrguer+2 refrigerantes= 
  =R$6,60

32. Resolva este sistema de equaes: 4`(x+2y`)=7`(2x+
  +y`)+5; 3x-5y+11=4`(5x-2y`). 
  Quer uma ajuda? 
  Cada uma das equaes deve ficar mais simples com as incgnitas x e y no primeiro membro. 
  Veja como isso pode ser feito para a primeira equao: 
  4`(x+2y`)=7`(2x+y`)+5 
  4x+8y=14x+7y+5 
  4x-14x+8y-7y=5 
  -10x+y=5 ou y=5+10x. 
  Agora, faa clculos semelhantes para simplificar a segunda equao. Depois disso, voc ficar com um tipo de sistema j conhecido e poder aplicar o mtodo da substituio.

33. Agora, resolva os sistemas a seguir: 
 a) 4`(x+1)=2y+5 
  x+y=4 
 b) 3x+2=y+4 
  x+y=2x 
 c) x2+y=7 
  3x+y=x+13 
 d) x+2y=2x+3y 
  3x-5y=16 
 e) x=y2 
  3x-5y=42 
<P>
Pensando em casa

34. Resolva os seguintes sistemas, pelo mtodo da substituio:
 a) x=5y 
  x+y=3 
 b) x=3y
  2x+5y=11
 c) x=y+6
  x+y=56
 d) x=y-4 
  2x+y=70
 e) x=4y 
  3x+4y=4
 f) x=y+1 
  2x+3y=22

35. Um sorvete de chocolate custa x e um sorvete de limo, y. Mrcia comprou um sorvete de chocolate e um de limo pagando R$3,00. Alessandra comprou dois sorvetes de chocolate e trs de limo pagando R$7,40. 
 a) A compra de Mrcia pode ser representada pela equao 
<P>
  x+y=3. Represente, ento, a compra de Alessandra. 
 b) Resolva o sistema obtido e apresente o preo de cada 
  sorvete. 

<106>
36. Resolva os sistemas: 
 a) 10y=10x+30 
  x+2y=3 
 b) y+x2=-13 
  4x+3y=2
 c) -4x+3y=7
  2y+3`(x+1`)=8+x
 d) x3+y3=5
  9x-42=2y

37. As idades de duas amigas formam a soluo do sistema: 2x+y=33; 3x-4y=-11. 
  Que idade elas tm? As inc-
  gnitas x e y podem ter o mesmo valor?

38. Neste mapa _`[no adaptado_`], os quarteires so retangulares, com x metros de comprimento e y metros de largura.
  O caminho de A at B tem 
  230 m. 
  O caminho de A at C tem 
  390 m. 
 a) Podemos representar o caminho de A at B, que tem 230 m, pela equao 2y+x=230. Faa 
  o mesmo com o caminho de A 
  at C. 
 b) Agora voc tem um sistema de equaes. Resolva-o e encontre o comprimento e a largura de cada quarteiro.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas 

5. Este sistema tem uma nica soluo: 2x=z; x+y=6; y+z=7. 
  Resolva-o e d os valores de x, y e z. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<107>
<P>
4- Mtodo da adio 

  Para resolver um sistema de equaes,  preciso chegar a uma s equao, com uma s incgnita. J fizemos isso utilizando o mtodo da substituio. Agora, veremos o mtodo da adio.

Exemplo 1 

  Considere o sistema: 
 1) 5x-3y=15 
 2) 2x+3y=6
  Observe que a equao 1 tem o termo -3y e a equao 2 tem o termo simtrico ou oposto 3y. 
  Esse fato permite-nos obter uma s equao sem a incgnita y, somando as duas equaes membro a membro. 
 5x-3y=15 
 2x+3y=6.
  Veja: 
 5x+2x=7x
 -3y+3y=0
<P>
 15+6=21
 7x+0=21
 x=3.
  Como -3y+3y=0, a incgnita y desaparece. A, tudo fica fcil. 
  Agora,  s substituir o valor de x em uma das equaes do 
 sistema: 
 5x-3y=15 
 5"3-3y=15 
 -3y=15-15 
 -3y=0 
 y=0. 
  A nica soluo do sistema  `(3, 0`). 

<108>
Exemplo 2 

  Vamos resolver o sistema: 
 1) 2x+5y=16 
 2) 3x+2y=13 
  Nesse caso, seria intil somar imediatamente as equaes. Como no h termos simtricos, nenhuma incgnita desaparece. Mas podemos obter termos simtricos. 
 1) 2x+5y=16
 2) 3x+2y=13
  Multiplicamos por 2 os dois membros da equao 1 e por -5 os membros da equao 2. 
 4x+10y=32
 -15x-10y=-65. 
  Agora, temos termos simtricos: 10y e -10y. 
  Por isso, vamos somar as duas equaes, membro a membro: 
 4x+10y=32 
 -15x-10y=-65
 4x-15x=-11x
 10y-10y=0
 32-65=-33
 -11x+0=-33 
  Daqui em diante,  fcil: 
 -11x+0=-33 
 11x=33 
 x=3. 
  Agora  s substituir o valor de x numa das equaes, por exemplo, em 1: 
 2x+5y=16 
 2'3+5y=16  
 5y=10 
 y=2. 
<P>
  A nica soluo do sistema  `(3, 2`). 
  Nos dois exemplos anteriores, usamos o mtodo da adio. 
  No primeiro exemplo, havia termos simtricos. Por isso, somamos as duas equaes, membro a membro. 
  No segundo, isso no aconteceu. Foi preciso multiplicar os dois membros da equao 1 por um nmero e os da equao 2 por outro. 
  Por quanto multiplicamos cada equao? 
  Agora vamos explicar como esses nmeros foram escolhidos: 
  Considere novamente o sistema. Queremos obter termos simtricos em y. 
<109>
  Veja, ento, os termos em y: 
 1) 2x+5y=16
 2) 3x+2y=13 
  Na equao que tem 5y, multiplicamos os membros por 2, obtendo, assim, 10y; na equao que tem 2y, multiplicamos os membros por -5, obtendo -10y. 
  Esses dois produtos so termos simtricos em y e sua soma  zero. 
  Observe essa outra possibilidade: multiplicar os dois membros da equao que tem 2x por 3 e os dois membros da equao que tem 3x por -2. Nesse caso, obtemos termos simtricos em x.

Atividades 

<R+>
39. Resolva os sistemas a seguir pelo mtodo da adio. 
 a) x+y=10 
  x-y=4 
 b) x+2y=17 
  x-2y=1

40. Usando o mtodo da adio, resolva: 
 a) 2x+y=5 
  x+y=2 
 b) 3x+y=3 
  3x+4y=30 
 c) 3x+6y=12 
  2x+6y=-10. 
  Sugesto: nesses sistemas, multiplique os membros da 2 equao por -1.

41. Resolva pelo mtodo da 
  adio: 
 a) 3x+y=3 
  9x-2y=1 
 b) x+y=5 
  -2x+y=-1. 
  Sugesto: nos dois sistemas, multiplique os membros da 1 equao por 2.

42. Usando o mtodo da adio, determine a soluo deste 
  sistema: 
  1) 3x+11y=14 
  2) 5x+10y=15.
  Sugesto: multiplique a equao 1 por 5 e a equao 2 por -3.

43. Resolva pelo mtodo da 
  adio: 
 a) 5x-2y=21 
  2x+3y=16 
 b) 7x-2y=6 
  3x+4y=5 
 c) -4x+3y=7 
  3`(x+1)=8+x-2y

44. A diferena entre dois nmeros  72. Logo, escrevemos: x-y=72. 
 a) A soma desses mesmos nmeros  280. Que equao escreveremos? 
 b) Resolvendo o sistema obtido, encontre esses nmeros.

45. O preo da lapiseira  x, e o da caneta  y. A lapiseira custa R$12,00 a mais que a caneta, e as duas juntas custam R$25,00. 
 a) Escreva um sistema de equaes nas incgnitas x e y. 
 b) Encontre os preos da lapiseira e da caneta. 

<110>
Pensando em casa

46. Comprei x garrafas de refrigerante a R$1,50 cada uma e y garrafas de cerveja a R$2,00 cada uma, num total de 12 garrafas. Gastei R$22,00. 
<P>
 a) Escreva um sistema de equaes que corresponda s informaes dadas no problema. 
 b) Resolva o sistema e diga quantas garrafas de refrigerante comprei.

47. O par ordenado `(4, 5`)  a soluo deste sistema: 3x+2`(y-4)=...; x+y=2x+... 
  Que nmeros devem estar nos lugares em que aparece ...?
 48. Observe as figuras. Os dois gates tm pesos iguais, e os dois gatinhos tambm. 

_`[{duas figuras_`]
 1. balana em equilbrio. Num prato, dois gatinhos e dois gates; no outro, um peso de 5 kg e um de 3 kg.
 2. balana em equilbrio. Num prato, dois gatinhos e um gato; no outro, um peso de 5 kg.

  Dos pratos da figura I, retire o que aparece nos pratos da figura II. Assim, voc desco-
  brir quantos quilogramas tem um gato. Depois, ser fcil calcular quantos quilogramas tem cada gatinho. Que resultados voc obteve?

49. No exerccio anterior, cada gato tem x quilogramas e cada gatinho tem y quilogramas. 
 a) Escreva as equaes correspondentes s duas figuras. 
 b) Faa isto: mantenha a primeira equao; multiplique por -1 os dois membros da segunda equao; some essas equaes membro a membro e, depois, obtenha os valores de x e y. 
 c) Quantos quilogramas tem cada gato? E cada gatinho?

50. Resolva pelo mtodo da 
  adio: 
 a) 2x-3y=2`(x+1)+3 
  x+x+x=y-5 
 b) 2`(x+1)=3`(y+2) 
  x=y-4 
<P>
 c) x2+y=54 
  2x-y=0 
 d) x2+y3=103 
  x-3y=x2 

<111>
Desafios e surpresas 

6. Um comerciante mandou seu empregado pesar trs sacos de farinha. O rapaz voltou exausto, e disse: 
  -- O primeiro e o segundo sacos, juntos, tm 110 quilogramas. O primeiro e o terceiro, juntos, tm 120 quilogramas. 
  E o segundo e o terceiro, juntos, tm 112 quilogramas. 
  Mas o comerciante queria saber quantos quilogramas tinha cada saco! 
  Para o empregado no se cansar mais, descubra isso para ele. 
 7. Se um menino faltar, as meninas da classe sero o dobro dos meninos. Se, em vez disso, faltarem 6 meninas, haver um mesmo nmero de meninas e meninos 
<P>
  na classe. Quantos so os alunos (meninos e meninas) dessa classe? 
 8. Numa balana de dois pratos, 5 moedas de ouro equilibram-se com 7 de prata. Trocando uma moeda de um prato por uma do outro, o prato que antes s tinha moedas de ouro ficar com 16 g a menos que o outro. Quantos gramas tem cada moeda de ouro? E cada moeda de prata? 

<112>
9. Conhea as pilhas numricas! 
 a) Observe bem a pilha a seguir, especialmente os tijolos em destaque. Assim, voc descobrir a regra de preenchimento. A, termine de preencher a pilha. A mesma regra ser usada em todas as pilhas desta pgina. 
<P>
<F->
            !:::::
            l     _
        !:::h::::j:::
        l      _      _
     !::h:::::j:::::j:
     l -0,9_ 6,2_ 2,1_
  !::h:::::j::::j::::j::
  l -3 _ *2,1*_ 4,1_ -2_
!:h::::j::::::j::::j:::j::
l -5_ *2*_ *0,1*_ 4 _ -6 _ 
h::::j:::::j:::::::j::::j:::::j
<F+>

b) Esta segunda pilha serve para voc treinar o preenchimento. V em frente! 

<F->
            !:::::
            l 13 _
        !:::h::::j:::
        l      _ 2,5 _
     !::h:::::j:::::j:
     l      _     _ 0,5_
  !::h:::::j::::j::::j::
  l     _       _     _ 2 _
!:h::::j::::::j::::j:::j::
l    _     _       _    _  4 _ 
h::::j:::::j:::::::j::::j:::::j
<F+>

c) Agora, o primeiro desafio! Para preencher,  preciso descobrir os valores de x e de y. Para isso, conhecimentos sobre sistemas de equaes vo ajudar! 

<F->
            !:::::
            l     _
        !:::h::::j:::
        l 18  _ 19  _
     !::h:::::j:::::j:
     l      _     _     _
  !::h:::::j::::j::::j::
  l     _       _     _    _
!:h::::j::::::j::::j:::j::
l 2 _ x   _  3   _ y  _  5 _ 
h::::j:::::j:::::::j::::j:::::j
<F+>

d) Um desafio maior ainda! Ser que voc supera mais esse? S uma dica: pense de cima para baixo! 
<P>
<F->
            !:::::
            l x   _
        !:::h::::j:::
        l      _ 5   _
     !::h:::::j:::::j:
     l 10  _     _     _
  !::h:::::j::::j::::j::
  l     _       _ 15 _    _
!:h::::j::::::j::::j:::j::
l 20_     _       _    _ 40 _ 
h::::j:::::j:::::::j::::j:::::j
<F+>

e) ltimo desafio! Provavelmente, voc no conseguir resolver. Por que ser? Em todo caso, tente e, se preciso, pea ajuda a seu professor. 
<R->
<P>

<F->
            !:::::
            l     _
        !:::h::::j:::
        l 16  _ 4   _
     !::h:::::j:::::j:
     l      _     _     _
  !::h:::::j::::j::::j::
  l     _       _     _    _
!:h::::j::::::j::::j:::j::
l 1 _ 2  _ 3    _    _  1 _ 
h::::j:::::j:::::::j::::j:::::j
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte